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∫Cos^4xDx

连续使用高中公式cos2x=2cos^2x-1达到降幂效果、 ∫cos^4 xdx =1/4∫(1+cos2x)^2dx =1/4∫(cos^2 2x+2cos2x+1)dx =1/4(∫cos^2 2xdx+sin2x+x) =1/4[1/2∫(1+cos4x)dx+sin2x+x] =1/32sin4x+1/4sin2x+3/8x+C

倍角公式降次 过程如下图:

详细过程如图

运用华里士公式,∫sinⁿxdx=∫cosⁿxdx(0,π/2上积分)=(①n>1的奇数)(n-1)/n×(n-3)/(n-2)…2/3×1 ②n为偶数,(n-1)/n×(n-3)/(n-2)…1/2×π/2

原式=∫tan^4xdx =∫tan^2x*(sec^2x-1)dx =∫tan^2x*sec^2xdx-∫tan^2xdx =∫tan^2xd(tanx)-∫(sec^2x-1)dx =(1/3)*tan^3x-tanx+x+C,其中C是任意常数

如图:

得无穷。楼上那个换元换错了

∫(sinx)^2*(cosx)^4dx =(1/4)∫(sin2x)^2(1-(sinx)^2)dx =(1/4)∫(sin2x)^2(1/2+cos2x/2)dx =(1/16)∫(1-cos4x)dx+(1/16)∫(sin2x)^2dsin2x =(1/16)x-(1/64)sin4x+(1/48)(sin2x)^3+C

设u=4x,x=u/4,dx=1/4du;所以,原式就=1/4积分号cosudu,=1/4sinu+C=1/4sin4x+C.

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