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∫Cos^4xDx

连续使用高中公式cos2x=2cos^2x-1达到降幂效果、 ∫cos^4 xdx =1/4∫(1+cos2x)^2dx =1/4∫(cos^2 2x+2cos2x+1)dx =1/4(∫cos^2 2xdx+sin2x+x) =1/4[1/2∫(1+cos4x)dx+sin2x+x] =1/32sin4x+1/4sin2x+3/8x+C

\int\cos^4xdx =\int\frac{3+4\cos 2x+\cos 4x}{8}dx =\frac{3x+2\sin 2x+\frac{1}{4}\sin 4x}{8}+const

公式:∫[0→π] xf(sinx) dx = (π/2)∫[0→π] f(sinx) dx ∫[0→π] x(sinx)⁶(cosx)⁴ dx 由公式: =(π/2)∫[0→π] (sinx)⁶(cosx)⁴ dx =(π/2)∫[0→π/2] (sinx)⁶(cosx)⁴ dx + (π/2)∫[π/2→π] (sinx)⁶(cosx)⁴...

得无穷。楼上那个换元换错了

原式=2∫(0→π/2)(cosx)^4·dx 【应用奇偶对称性】 =2·3/4·1/2·π/2 =3π/8 【附注】 本题应用了递推公式: I(n)=∫(0→π/2)(cosx)^n·dx 则:I(n)=(n-1)/n·I(n-2)

如图:

如图

∫cos4xdx = (∫cos4xd(4x)) / 4 = sin(4x) / 4.

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